主持人袁启亮先生：非常感谢莫毅明教授今晚在百忙之中抽出宝贵的时间来接受我们的访问。您今天的分享主题是“数学之美与成功人生”，今天我们将采用对话这种特殊形式来完成本次分享。我的第一个问题是，作为世界级的知名数学家，研究代数、几何等，你对数学产生兴趣的时间及原因有哪些？

莫毅明教授：非常感谢香港大学中国商业学院邀请我参加此次活动。对于你刚才的问题，我想应该这样回答，人类自古以来对科学都有向往，特别是对数学的向往。屈原在《楚辞·天问》里就提出一些很朴素的问题，比如：我们看到的自然现象的来源是什么？在这些自然现象中，哪些是根本？哪些是原则的应用？数学是所有科学里最基础的学科，从这个角度来讲，有好奇心的学生都会对数学产生兴趣。我对数学的兴趣，应该从小学时就已经开始。

为大家介绍一下我的家庭背景，我的父亲很喜欢数学，他有时候会教我算盘，所以我小时候也学过珠算，虽然我没有深入地研究过珠算，但是它对我数学之路也有重要的启发。

右上角的照片是我就读的小学，现在已经不存在了。小学的学习非常愉快，觉得上学就像玩游戏一样。那个时候，香港小学的主要课程是中文、英文和数学。我这几个学科学得都很好，特别是数学，那个时候可能叫做算术。

这组图是我在圣保罗男女中学的时候。当时参加了校际杯问答比赛，我负责数学与时事部分。左上角的照片是我中学五年级的毕业照，右下角是10多年前回学校缅怀曾经的校园生活时拍的照片。

主持人袁启亮先生：我们知道您喜欢数学的原因了，从珠算开始，您的父亲就是您的启蒙老师。您是知名数学家，也有很多前辈，在这些数学家前辈里，您最欣赏的数学家是哪位或者哪几位，可以分享一下吗？

莫毅明教授：欧几里得应该是我最早遇到的数学家。我小学六年级时，我的姐姐是中学一年级生，她也就读于英语学校。那个时候學的是我们称为旧数学的課程，经典的数学比较多，特别是平面几何。上图这本是《Euclid's Elements》，翻译过来是《几何原本》。当时姐姐用的不是这本书，可是她用的教科书内容包含了欧几里得几何，最主要的是平面几何。我当时小学六年级，很好奇，于是拿了她的书来看。那本书的内容包含了几年的课程，我大概把里面基本的东西都学会了。

中学一年级的时候，香港进行了数学改革，也就是引進了新数学的課程。从那时候我就开始学习新数学。你问谁是我最尊敬的数学家，可以说是黎曼，他40岁的时候离开了这个世界。他写的论文总量不多，可是深受后世重视，直到今天也还有人在不断地研究他的论文。比如，他的“黎曼面”“黎曼几何”都是我研究的范畴。另外还有一个“黎曼ζ函数”，这是数论里面重要的一个题材。数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质，它应该有两种不同的说法：Arithmetic 或者 Number Theory。

爱因斯坦是大家都熟知的物理学家，图中他正在写的这个方程式，其实需要回到黎曼的方程式，在广义相对论里面，时空是曲的或者说是四维的有曲率的流形。曲率的概念来自黎曼，黎曼的老师是高斯，高斯创立了三维空间中的曲面的微分几何，并提出了内蕴几何理论，黎曼把它扩展到非常宽广的框架。

下面要讲的是一些很知名的数学家，我说一下他们对数学的论述。Sofia Kovalevskaya（索菲娅·瓦西列夫娜·柯瓦列夫斯卡娅，俄罗斯女数学家），她的论述是It is impossible to be a mathematician without being a poet in soul。没有诗人的灵魂就没有办法成为数学家；Henri Poincaré （亨利·庞加莱，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家），大家可能听说过庞加莱猜想，他说Le savant digne de ce nom, le géo- mètre surtout, éprouve en face de son œuvre la même impression que l'artiste ; sa jouissance est aussi grande et de même nature.一个几何学家面对他的成果，就如同一个艺术家面对他的作品，而他也如同艺术家一样，感受到同样无比的喜悦；Friedrich Gauss（约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家），他是黎曼的老师，他的论述是Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik，意思是数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后。

我很赞同这几位数学家的论述。数学之美是一个非常重要的题材。假如一个人没有感觉到数学之美，他肯定就没有办法做数学研究。

主持人袁启亮先生：是的。尤其刚才您的英语、法语、德语三种语言表达朗朗上口，我就知道您是语言学的专家。刚才您展示了对语言的熟稔，也帮我们实时翻译成了汉语，让我们感受到数学的美与诗人、大自然之美。我想请您分享一下数学之美跟语言之美之间的关系。

莫毅明教授：数学其实也是一种语言，只不过这门语言对你的基础更有要求。我小时候就很喜欢外语，英语也念得好，所以老师就建议我去英语学校，我去了圣保罗男女中学，这在当时是最好的学校，目前也是。

既然进入英语学校，我觉得当然要把英语学好。我为什么要学好英语？因为那个时候我汉语不错，也非常喜欢诗歌。那时我发现，汉语、古文如果想学得很好，不只在学校学，都是家里面有老师。我做了一个决定，我要把我中学的时光用在学习外语上。有了这样的决定后，我就想既然要学英语，为什么不多学一些其他语言？想到在重量单位上，我们有“斤”、有“磅”还有“公斤”，由此想到学习法语。因为18、19、20世纪，法语在外交、科学、艺术等很多方面都是重要语言，所以我就想到学习法语。小学毕业时大约是机缘巧合之下，我开始自学法语。

主持人袁启亮先生：我知道您的理论很深奥，获得了很多世界级的奖项，现在想要请您科普一下您在数学方面的研究，能够让我们普通老百姓也能听得懂。

我研究的内容互相都有关联，从上图大家就能够看得出来。在这张图中，从最尾端的部分开始有复分析、凯勒几何、微分几何、代数几何、数学逻辑、算术几何等很多方面，我把所有基础数学，或者在香港地区叫“纯数学”的内容都尽可能包含在我自己研究的范畴之内。这个想法也不是一开始就有，它有一个过程。一开始我做多复变函数论，也就是复分析，这涉及 -1的平方根这个很重要的概念。中学二年级的时候因为学微积分的缘故，就接触到-1的平方根，接受了这个概念以后，很多积分的公式就都可以简化了。

-1的平方根是近代数学的根基。在研究了这个概念之后，我研究的内容从复分析转移到微分几何，凯勒几何是包含复数领域上的一种微分几何。想到用微分几何的方法做代数几何，随后我又想到用微分几何的方法做与数论有关的问题，因此就构成一个比较宽广的研究框架。

数学逻辑在上图中，在距离上好像与其他几个领域距离比较远，其实并不是这样。数学逻辑本身也有几何的成分，而且数学逻辑在数论里面也有很多应用。

上图是我第一篇论文，以法语发表在法国科学院的刊物。当时我是斯坦福大学的博士生。这篇论文研究的是开黎曼面的纤维丛，黎曼面有两种：一种是开黎曼面，即非紧黎曼面；另外一种是紧黎曼面，，即闭黎曼面。

黎曼面从视觉上，就是封闭的二维的曲面，这个曲面需要是可定向的，就是说你可以定义什么是顺时针，什么是逆时针。在某些曲面上面是没办法定义的，能定义的我们称它为“可定向的”，而黎曼面都是可定向的。上图这个经典的结果给出紧黎曼面的分类，最左边是黎曼球，它右边的甜甜圈是亏格等于1的紧黎曼面，其他的是亏格 ≥2的紧黎曼面，后者均有类似的几何。

我的数学研究简单来讲，就是涉及亏格0与亏格1的情况。当然也涉及亏格2或以上的，在这里我集中讨论亏格0与亏格1的情况。

上图是我自己写的一首“宝塔诗”，用以叙述我对科学的观点。科学研究的是变化，包含了时间与空间的变化。从时间来讲，这首宝塔诗蕴含了天文学与进化论的一些基本原则。流传下来的“宝塔诗”并不多，关于这种格式，白居易写过《诗》，元稹写过《茶》。宝塔诗好像在佛学领域创作比较多。

简单介绍一下微分方程。图中第一个方程是热流方程。比如说一个均匀并各向同性的二维物体有一个热的来源，通过热的传导，它的温度在改变，改变的时候就满足了一个热流方程，这个方程是热流的根本方程之一，它对时间来讲涉及一次微分，对空间来讲涉及两次微分。

下面的是流形上的演化方程。这个方程式是一个抛物方程，我一开始研究的方向是关于度量的演化，这种度量, 在時空中，的变化实际上满足上述演化方程。我应用当时已知的并已有一些基础研究的方程，这个研究的方程是理查德·汉密尔顿提出的，后来通过Перельман（格里戈里·佩雷尔曼，俄罗斯数学家）的工作，证实了庞加莱猜想，用的就是汉米尔顿的方程。他用的是方程在“实流形”上的形式。

我用的是方程在“复流形”上的形式。我运用这个方程证明了万有覆盖定理的一个重要推广。在黎曼面的分类理论里的一个很重要的定理是“Uniformization Theorem”万有覆盖定理，就是说单连通的黎曼面只有三种，即黎曼球面、复平面和双曲平面。把这个问题推广到高维的时候，注意黎曼球是具有正曲率的，在正曲率或者说非负曲率方面我做了一些高維的推广。我基本的定理是说：在非负曲率的条件下，在紧凯勒流形上，存在局部对称性。比如它可以是射影空间，也可以是具有格拉斯曼流形的特殊几何结构。我与其他研究该方程的同行不一样的地方是，我引进了代数几何的工具。当度量演化以后，我可以放进一个黎曼球，研究黎曼球在里面的形变。

后来，我与韩国同行发展了一套研究黎曼球在单直纹流形里形变的理论，关乎体积最小的黎曼球，我们可以把它简单化看成是光线，因为四维空间的狭义相对论，其中就有光线的概念。光线并不是所有方向都存在，只有在某些方向才有。我们发现在一种流形上可以发展一套类似于光线的理论，就是把光线作为一个messenger（信差），把信息从一点传播到另外的点，持续反复地传播，就可以从一点传播到空间上面所有的点。如果把经过一点的由一切极小有理曲线（即“光线”）的切线所组成的集合称为VMRT（极小有理切线簇），那么我们希望去研究VMRT在空间上的变化，用以判断 X的复结构。

上图中，我们在考虑最下方那个X的同时，也需要考虑在X上面所有曲线组成的一个集合K。这张图包含了两种纤维丛。

上图中左边这本书是我在圣保罗男女中学的时候，在香港大会堂图书馆里曾經閲讀過的一本书。这本书基本上是用复分析，也就是用-1的平方根的方法研究的微积分，可以用来研究数字中一些很深奥的问题。“超越数”是指不能满足任何一个系数为整数的一元代数方程的一种数。比如π是一个超越数，√2是代数数。证明π是超越数的定理在1882年问世，其间用了很长时间的努力，才达到这样非常经典的结论。

右边我2019年的时候跟两位同行，牛津大学的Jonathan Pila 和 多伦多大学的 Jacob Tsimerman共同发布的一篇与超越数有关的论文。当时我们也知道它会有很多应用，可以应用在数论里面解决一些深刻的问题，这篇论文也是后来我获奖的其中一个项目。

2019年的这篇论文简单来说与前面讲到的“甜甜圈”有关，就是亏格＝1情况，我们在上半平面里面找一点t，用1与 t 生成一个点格。大家可以发现，这张图的中间有一个平行四边形，把这个平行四边形的两双平行边叠起来就可以得到一个“甜甜圈”，可是甜甜圈的复结构就取决于 t 的位置。那么 t 跟 t’有的时候可以给出等价的这样一个甜甜圈。

在亏格0的时候只有一种复结构，在亏格1的时候，那个复结构可以透过上半平面灰色的一直趋向无穷的区域来参数化，这是很重要的一类“模曲线”（一类有限体积黎曼曲面）。

主持人袁启亮先生：这些都是您的研究，很深奥，起码我可能不太懂，但是您用“甜甜圈”的概念，我觉得非常好，让我们起码有一种理解的尝试。我知道您是一个世界级的数学家，您的求学生涯，包括从香港地区的小学、中学，到国外的大学学习，美国再到法国；也在欧美很多不同的大学任教过。我想不如从您个人求学到职业生涯的过程，分享一下个人故事，也就是今天的《数学之美与成功人生》的主题来源。

莫毅明教授：其实高中毕业的时候就想到德国留学，可是德国没有奖学金，我就去了美国读大学。上图中右上是在耶鲁大学的时候，与新加坡、马来西亚的同学一起拍的，右下照片是在斯坦福大学的照片。左边两张照片是我在普林斯顿大学拍的。

80年到85年，我在普林斯顿大学。普林斯顿大学距离普林斯顿高等研究院很近，我从学校只要通过高尔夫球场就可以到这个研究院，这一点对我很重要。研究院里经常有一些研讨会或者会议，我非常感兴趣。得益于参加这些活动，我学到了很多东西。

这是法国的法国高等科学研究所（Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 简称 IHES），位于巴黎郊区。1989年到1994年的时候我在巴黎大学郊区奧賽(Orsay)校园任教，很接近IHES，它们之间的距离类似于普林斯顿大学与普林斯顿高等研究院的距離。双方的活动我都参加，都受益。

这是2005年，我从香港赴哥伦比亚大学参加庆祝前同事Masatake Kuranishi（仓西正武）80岁生日的学术会议时的合照。Kuranishi先生是个很著名的日本数学家。他的80岁生日会的来宾们在数学领域里面都非常知名。

2016年我生日的时候，在韩国，他们替我办了一个复几何的会议，这个会议有来自法国、美国、中国、日本等全球很多国家的讲者，是一个在复几何领域内很具代表性的会议。这个会议还有一个特点，就是把研究复分析、复微分几何、代数几何以及算术几何的专家汇聚一堂，共同讨论数学的发展。

主持人袁启亮先生：你们用复几何的研讨会来庆生是很特别，我想提一个小问题，你们有没有生日蛋糕？你们用复几何去计算吗？

莫毅明教授：有蛋糕。没有这样计算。但是你可以想一些方法把数学的内容放进里面。

2022年未来科学大奖－数学与计算机科学奖是我近来的一次获奖，颁奖的典礼在三个不同的地方，上图是在香港大学陆佑堂。这个奖在国内被称为是中国的诺贝尔奖，是一个很有代表性的奖项。而且这个奖项的设置与 Nobel Prize的做法类似，在成为获奖人以前，我是完全不知道的，属于惊喜，而且评审的信息在50年之内保密。

上图是我跟太太在陆佑堂里面拍了一张照片。

我在香港大学是个明德教授，明德教授职衔有捐款人，谢仕荣跟他太太卫碧坚，是我的明德教授的捐款人。我获奖之后他们也非常高兴。我之前赠送过一本我的诗集给他，他的家族就给了我一个大Surprise，在半岛酒店举办了一个庆祝会，有音乐表演，他们赠给我的是图中的条幅，上面抄写了我自己的一首七言律诗梦海。他们找了非常知名的香港书法家把我的诗写在上面，对我来说是很大的一个惊喜。照片中还有香港大学张翔校长与校务委员会主席黃翠如女士。

主持人袁启亮先生：刚才说到您的职业发展，到获奖，都是开心的事情，接下来我们继续用开心的事情延续今天的主题。今天的主题具有数学之美、语言之美、文学之美这种浪漫色彩。我知道您多才多艺，在数学、文学、写诗、音乐等方面都很擅长，所以想请您分享一下作品。

莫毅明教授：我前面有提到过，一开始我是在中文学校，那个阶段的生活和学习都很愉快。老师经常教我们一些课程以外的内容，比如念诗。我小学三年级就已经会背诵《正气歌》。在学诗歌的过程中，我知道有这样伟大的作品，也非常感兴趣，可是小时候没有想到后来我也会写诗，因为当时的我觉得写诗是一件非常困难的事情。那个时候学习诗歌就是欣赏古人的文艺作品，香港社会对这种古文形式的表达也没有较大回响，所以我只是在学它而已。

中学的时候我在英语学校，因为我觉得可以尽量取材于我能够取材的地方，学外语相对来说是可以做到的事情。后来发现自己无论对中国文化还是西方文化（特别是欧洲的文化）都非常感兴趣，但如果要表达自己的话，还是需要用到母语。我比较欣赏古文，就尝试用古文来写，这首诗就是尝试之一。有时候我把中文翻译成外语，以便跟外国朋友分享，图中这首诗就翻译为英语了。大家可以看到，我学习的内容从李白到意大利的文学选集，到德语的字源词典，这一类书籍我都会去看。

这是另外一首诗，我把它翻译成法语，其实是一种欣赏，学文学不一定只学中国的文学，不同的文化都存在很伟大的作品，只要你去寻找，就一定可以找到能让自己欣赏的文学作品。这也可以说是一种比较文学的观念。

这首诗对我来说有特殊意义。我父亲于2010年逝世，当时我在做一些学术活动，往返于香港与上海之间。这首诗用于悼念我的父亲。那个时候我不会填词，想到我父亲是一个非常喜欢古雅文字的人，他和我说话给我一种说古文的感觉，而且他的书法非常好，为了要表达自己的感情，我尝试学习填词，发现过往经历让我对中国文学有一定的感觉，可以把握诗词的语感。因为我一开始学外国的语言学，回来香港以后学音韵学，对平仄、押韵就都比较能够把握，后来就开始从事诗词创作。这是我第一首按照规格填的宋词，词牌是《江城子》，是我严格意义上的第一首作品。另外一方面，我也希望把我的文字分享给不懂古汉语的朋友，所以把它翻译成了英语。

这是我今天介绍的第三首诗，叫《少年游》。我在50岁以后才开始写诗，这种情况很少见，通常诗歌的创作者是从小就会写的。不过，50岁开始写诗也不错，因为已经积累了很多人生经验。我用排律这种比较长的律诗形式描述我追求学问的过程：少年忧国运，决志闯西关。问学毋惊远，寻知莫等闲。这是启发我写这首诗的开场白。最后几句：云游观世界，故国系心间，飞鸟他乡倦，缘来喜复还。我写这首诗的时候，已经回到了香港，这是回想我的中学时代，已经有比较浓的家国情怀，这跟我的背景有一点关系。后来我到世界各地游学、游历，传播我的学问。回到香港后，我把这个作品翻译成德语，翻译的缘起也有一点故事。高中时代，我在歌德文化学会学了2个学期德语，1学期是10周。此前我已经懂一些德语，去歌德文化学会主要是想接受比较严谨的德语训练。我从来没有专门在学校学过法语，从小学时开始自学，兴趣很浓厚，吸收了基础的内容，大体可以看懂法语。我自己也不是很清楚我的法语熟练程度，因为在香港没有跟法国人交流过，但是后来也去过法国任教。

高中时，我在歌德文化学会的图书馆找到一些唐诗的翻译，翻译得非常好，我觉得德语是一种适合翻译中国古诗词的语言。因为从语言习惯上来说，德国人也可以接受较长的句子；从词汇结构上来说，德语与汉语的造字方法有类似的地方。当然还有更深一层的理由，今天就不展开说了。

为了让大家有一点德语的感觉，我念一下这首诗的最后一段：So bereiste er die Welt und bewunderte ihre Schönheit. Doch war das Vaterland tief in seinem Herz geblieben. Nach langem Flug blieb dem Vogel keine Stärke der Jugendzeit. Mit Chance kam er zurück in die Heimat und fühlte sich zufrieden.

之前提到去德国参加会议，这首诗是在返港的飞机上创作的。我在飞机上看到白云掠过，想起自己来往于不同地方讲学的经历，写下七言律诗《梦海》。我在此朗读最后的两句：未恐征途忘曲折，冰心一颗觅长虹。

诗词的作用应该是什么？当然，诗词现在不是一种常用的表达方式，可是作为一个有很多游历经验的现代人，我希望把我看到的特别是欧洲的一些见闻写下来，并配上自己拍摄的照片。上图中这首诗就是看了瑞士与意大利的美景以后写的。

我也会对西欧的文化有所感触。譬如图中是欧洲大陆最西的地方，是葡萄牙的Cabo da Roca罗卡角。当时我在里斯本讲学，左上图我旁边的是友人，一位里斯本的数学家。右上角照片中的人是Luís de Camões路易·德·卡蒙斯，他是葡萄牙最著名的诗人，出生于1524年，曾经在澳门定居过，在澳门上过学的人可能认识。《海角怀古》这首诗中，我就描写了当年葡萄牙人的心态。

《重逢》这首诗也非常有意思。我1982年第一次访问挪威，图中的照片是我2013年第二次访问挪威的时候拍的，中间隔开了31年，回忆往昔，故友重逢，写下这首诗。当时参加了由阿贝尔基金会(Abel Foundation)在特隆赫姆(Trondheim)挪威科技大学(NTNU)举办的会议。NTNU是挪威最北的大学之一，在北纬63.4度。最北的是University of Tromsø 特罗姆瑟大学处于北纬69.7度。左上图的夫妇是我多年好友，1982年访问挪威时就是寄宿于他们家里的。

《游巴尔干有感》是比较近期的作品。2019年我与太太去旅游。以前我很少旅游，通常是学术旅程，这次是特地去游览巴尔干半岛。我们参观了阿尔巴尼亚，也经过了萨拉热窝，感触到很多发生在巴尔干半岛的重大历史事件。词的下半阙讲的是第一次世界大战，巴尔干半岛是一战的导火线。

上图左侧是最近我与太太去西安旅游时所摄。这张照片与我10多年前写的一首诗很契合，这首诗表达的是追求学问的态度，“问学试天梯”一句，是说做研究就要尝试解决最难的问题，这是我的一个取态。在华山发现这样的一道天梯，旁边的悬崖上镂刻四个大字“直上天梯”，我马上把握住这个机会，让朋友给我们拍了一张照片。

上图是去年获得未来科学大奖的时候，摄影队帮我们拍摄纪录片时拍下的照片，纪录片的部分画面是在陆佑堂外下棋，在荷花池旁朗诵李白的诗，那时我写下了这首《小叙》：相约荷塘畔，红蕖傲半天。弈棋绿荫下，朗读颂诗仙。用广东话来读比较有感觉，因为广东话比较接近古语。

《今古吟》是我写的比较长的一首四言古诗，共4页128句。在这首诗里面，除了很难写进诗里的数学之外，我把所有我感兴趣的内容描写出来。天文学、生物学——尤其是进化论、人类学、诗的产生、哲学的产生、语言学的研究等等，我把佛学当做哲学来研究，而且兴趣浓厚。诗的主题是叙述汉唐盛世，我非常向往那个时候的中国，诗里也叙述了长安作为国际文化中心，对周围国家的文化产生了深远的影响。譬如说汉字传到了日本、朝鲜、交州（即今天的越南）。

我对语言学的兴趣也不纯粹是语言学方面，也与文学、人类学有关。从语言的分类，可以看出民族与民族之间的历史关系。音韵学是清朝一个显学，有很多发现，在国际语言学里深受重视。

《莫毅明教授：数学之美与成功人生（下篇）》将于近期在官微发布，敬请关注！